Wenn ein Mietverhältnis innerhalb der in § 564 Satz 2 BGB bestimmten Frist beendet wird, sind die nach dem Tod des Mieters fällig werdenden Forderungen aus dem Mietverhältnis reine Nachlassverbindlichkeiten – mit der Folge, dass der Erbe die Haftung auf den Nachlass beschränken kann und nicht daneben mit seinem Eigenvermögen haftet. § 564 Satz 1 BGB begründet keine persönliche Haftung des Erben.

-BGH, Urt. v. 23.01.2013 – VIII ZR 68/12-